Wydawać by się mogło, że tam, gdzie pojawiają się cyfry, mówimy o faktach, a nie o opiniach. Jednakże w przypadku prezentacji stóp zwrotu możemy mieć do czynienia z wieloma manipulacjami. Taki sam wynik inwestycyjny może być zaprezentowany w diametralnie różny sposób, w zależności od tego jaką metodologią będziemy liczyć stopę zwrotu. Z tego wpisu dowiesz się jakie są metody obliczania stóp zwrotu, a ta wiedza matematyczna posłuży Ci, abyś samodzielnie mógł porównywać różne wyniki inwestycji oraz ocenić własne zyski jako inwestor. Poznasz także metodę kalkulacji, która moim zdaniem jest najbardziej obiektywna do śledzenia wyników swojego portfela.
Jako dodatek do wpisu załączam arkusz google i plik excelowski, w których sam szybko dokonasz własnych kalkulacji. Mam nadzieję, że Ci się przydadzą.
Było sobie trzech inwestorów
Wyobraźmy sobie trzech hipotetycznych inwestorów: Adama, Bartka i Czesława (oznaczmy ich kolejno A, B i C). Wszyscy dokonali zakupu tych samych akcji, po tej samej cenie, w tym samym momencie, a po 2 latach sprzedali je również po takiej samej cenie. Nie zapłacili żadnych podatków, ani nie ponieśli żadnych kosztów transakcyjnych. Pod każdym względem finansowym i ekonomicznym dokonali identycznych transakcji, natomiast każdy z nich inaczej prezentuje swoje wyniki inwestycyjne.
| Inwestor | Stopa zwrotu |
|---|---|
| A | 50,0% |
| B | 41,4% |
| C | 34,7% |
Adam chwali się, że zarobił na tej inwestycji 50%. Starszy Bartek opowiada, że jego wynik to 41%, natomiast Czesław zauważa, że on zarobił 35%. Czy ktoś z nich kłamie? Okazuje się, że wszyscy inwestorzy z tego przykładu mówią prawdę. Jak to możliwe? Zaraz poznamy ich metody kalkulacji a także przyjrzymy się innym metodologiom.
W tabeli poniżej można obejrzeć wyniki naszych inwestorów i zobaczyć z jakich metod kalkulacji korzystali.
Arkusz google, w którym samemu można obliczyć różne stopu zwrotu znajdziesz tutaj.
Stopa zwrotu to zmiana wartości inwestycji w stosunku do zainwestowanej kwoty wyrażona w procentach. Ma pozwolić ocenić efektywności alokacji kapitału.
Całkowita stopa zwrotu (ang. Total Return)
Całkowita stopa zwrotu uwzględnia zarówno wzrost kapitału, jak i otrzymane dywidendy. Daje ona pełny obraz zwrotów z inwestycji, łącząc wszystkie źródła dochodów. Warto o niej wspomnieć, bo pojawia się praktycznie w każdym podręczniku akademickim. Jednakże nie uwzględnia ona czasu trwania inwestycji, więc w praktyce jest (w mojej opinii) totalnie bezużyteczna. Total Return pokazuje zazwyczaj zawyżone stopy zwrotu jeśli inwestycja trwa dłużej niż rok. Dla okresów krótszych niż rok można z niej korzystać.
gdzie:
- TR – całkowita stopa zwrotu
- FV – wartość przyszła inwestycji (ang. future value) inaczej wartość końcowa,
- PV – wartość przyszła bieżąca (ang. present value) inaczej wartość początkowa,
- D – otrzymane dywidendy
Prosta stopa zwrotu (ang. Rate of Return)
Prosta stopa zwrotu mierzy procentową zmianę wartości inwestycji w określonym czasie. Jest to najprostszy sposób oceny efektywności inwestycji. Metoda ta nie uwzględnia jednak efektu procentu składanego ani przepływów pieniężnych.
- r – stopa zwrotu (prosta)
- FV – wartość przyszła inwestycji (ang. future value) inaczej wartość końcowa,
- PV – wartość przyszła bieżąca (ang. present value) inaczej wartość początkowa,
- t – czas (liczba lat)
Składana stopa zwrotu / Efektywna stopa zwrotu
Zwana także CAGR (ang. Compound Annual Growth Rate)
Uwzględnia element procentu składanego w czasie, to znaczy, że mamy w niej do czynienia z kapitalizacją wyników. Jest to jedna z najbardziej popularnych metodologii liczenia stóp zwrotu. Podaje ją wiele portali, a poza tym znajdziemy ją na kartach funduszy i w różnych oprogramowaniach do wyliczania stóp zwrotu. Najczęściej będzie ona widoczna pod swoim angielskim skrótem CAGR (ang. Compound Annual Growth Rate)
- t oznacza tutaj czas liczony w latach. Stopa zwrotu liczona w ten sposób sprawdza się dla okresów dłuższych niż rok.
Wady CAGR
Mimo powszechności stosowania tej metody, ma ona dwie ogromne wady.
Pierwsza wada polega na tym, że CAGR nie uwzględnia przepływów pieniędzy (np. dopłat) w czasie trwania inwestycji, co sprawia, że tak naprawdę trudno ją zastosować. Jeśli w czasie budowania swojego portfela mamy zamiar dokonywać wielu transakcji, to taka metodologia liczenia na niewiele się zda.
Druga wadą jest efekt wygładzania stopy zwrotu – powiedziałbym, że usypia ona czujność inwestora. Stopa zwrotu liczona w ten sposób nie pokazuje zmian, które mogą zachodzić w wartości portfela (chociaż trzeba przyznać, że tak naprawdę wiele metod ma ten problem). Sprawia to, że wynik zdaje się stabilniejszy niż ma to miejsce w rzeczywistości. Dwa portfele mające ten sam CAGR mogą się zachowywać zupełnie inaczej w czasie. Poniżej pokazuję dość ekstremalny przykład tego zjawiska. Na wykresie widać ceny obligacji skarbowych oraz metali szlachetnych i złota w okresie od stycznia 1985 do września 2024[1]. Fluktuacja cen metali szlachetnych była zdecydowanie wyższa niż 10-letnich obligacji skarbowych Stanów Zjednoczonych, mimo że ich stopa zwrotu mierzona CAGR była niemalże taka sama.
Wyniki trzech portfeli za okres od stycznia 1958 do września 2024. Portfel pierwszy składa się z 10-letnich obligacji skarbowych Stanów Zjednoczonych, portfel drugi zawiera w sobie metale szlachetne, a trzeci – złoto. Portfele zawierają tylko jedną klasę aktywów, aby zobrazować, że aktywa o podobnej stopie zwrotu (CAGR) mogą bardzo różnić się innymi parametrami inwestycyjnymi.
Wariant logarytmiczny efektywnej stopy zwrotu
Efektywną stopę zwrotu można liczyć zakładając kapitalizację ciągłą, czyli przyjmując, że odsetki są nieustannie dopisywane do inwestycji. Taka metoda obliczeń jest bardziej „wymagająca” dla inwestycji, zatem stopa zwrotu liczona przy założeniu kapitalizacji ciągłej będzie zawsze niższa niż przy innych wariantach obliczania efektywnej stopy zwrotu.
- dla przypomnienia ze szkoły, ln oznacza logarytm naturalny 🙂
IRR – Wewnętrza stopa zwrotu (ang. Internal Rate of Return)
Zwana także Money-Weighted Rate of Return
IRR to stopa dyskontowa, przy której wartość bieżąca netto wszystkich przepływów pieniężnych (zarówno dodatnich jak i ujemnych) równa się zeru[2]. Jest używana do oceny rentowności inwestycji, z uwzględnieniem przepływów pieniężnych.
Taką metodę obliczeń stosujemy w excelu korzystając z funkcji: IRR
- Ct – przepływ pieniężny inwestycji w okresie t,
- t – konkretny okres
- I – wartość inwestycji
- IRR – poszukiwana wewnętrzna stopa zwrotu
- n – liczba okresów (lat)
Duża wada IRR
IRR wydaje się świetnym sposobem obliczania stopy zwrotu, gdyż uwzględnia dodatkowe płatności oraz wiele wpłat w ramach jednej inwestycji. Niestety jej bardzo dużą wadą jest założenie, że kapitał wypłacony (np. dywidendy) będzie pracował do końca inwestycji także po stopie IRR. Niestety jest ono najczęściej nieprawdziwe, gdyż środki wypłacone z inwestycji mogą być co prawda reinwestowane, ale zazwyczaj po stopie niższej niż ta w danej inwestycji. Jest to typowy problem reinwestowania środków, ale na tą bolączkę mamy bardzo dobrą odpowiedź w postaci zewnętrznej stopy zwrotu.
Przykład IRR
Załóżmy, że dokonałeś inwestycji w obligacje o wartości 100 tys. złotych. Działają one trochę nietypowo, bo obligatariusz (czyli dłużnik) będzie spłacał je co roku w równej kwocie przez 7 następnych lat. Po pierwszym roku dostaniesz 25 tys. złotych i tak jeszcze przez kolejnych 6 lat. Pytanie brzmi, jaką stopę zwrotu będzie miała taka inwestycja? Jeśli liczymy ją metodologią IRR, to wyniesie ona 16,3% . Gdyby wykorzystać metodologię CAGR, to stopa zwrotu wniosłaby 8,3% – zakładam tutaj, że wartość końcowa inwestycji to 175 tys. złotych.
Zewnętrzna stopa zwrotu ERR (ang. External Rate of Return)
ERR, zwana też zmodyfikowaną wewnętrzną stopą zwrotu (MIRR) różni się od wewnętrznej stopy zwrotu (IRR), ponieważ zakłada, że reinwestowanie przepływów pieniężnych odbywa się po stopie zwrotu, która jest ustalana zewnętrznie, a nie po stopie IRR. Jest to bardziej realistyczne podejście do oceny inwestycji niż IRR, ponieważ w rzeczywistości przepływy pieniężne często nie mogą być reinwestowane po wewnętrznej, lecz po zewnętrznej stopie, zależnej od rynku (np. bieżącej oferty lokat) lub innych dostępnych inwestycji.
Taką metodę obliczeń stosujemy w excelu korzystając z funkcji: MIRR*
*funkcja MIRR posiada jeszcze jeden parametr jakim jest stopa finansowa. Uwzględnia ona dodatkową możliwość liczenia odsetek od środków pożyczonych przy inwestycji. Dla uproszczenia można założyć, że wynosi ona zero.
- Ct – przepływ pieniężny inwestycji w okresie t,
- Ft – przepływ pieniężny reinwestowany po stopie r (stopa reinwestycji),
- ERR – poszukiwana zewnętrzna stopa zwrotu,
- n – liczba okresów.
Przykład ERR
Powróćmy do poprzedniego przykładu, ale nieco go zmodyfikujmy. Załóżmy, że dokonałeś inwestycji w obligacje o wartości 100 tys. złotych. Działają one trochę nietypowo, bo obligatariusz (czyli dłużnik) będzie spłacał je co roku w równej kwocie przez 7 następnych lat. Po pierwszym roku dostaniesz 25 tys. złotych i tak jeszcze przez kolejnych 6 lat. W tym wariancie wiesz, że środki wypłacane w kolejnych latach będziesz mógł reinwestować jedynie na lokatach. Przyjmijmy, że ich oprocentowanie w całym 7-letnim okresie jest stałe i wynosi 2%. Pytanie brzmi, jaką stopę zwrotu będzie miała taka inwestycja? Jeśli liczymy ją metodologią MIRR, to wyniesie ona 9,3%. Wartość ta jest dużo niższa od IRR (dla przypomnienia wynosiła ona ponad 16%), ale zakłada dużo realistyczniejszy scenariusz, czyli możliwość reinwestowania środków po stopie jedynie 2%.
Stopę finansowania całkiem pomijam, w tym przypadku nie ma ona znaczenia.
Stopa zwrotu ważona czasem – TWR (ang. Time-Weighted Rate of Return – XIRR)
TWR eliminuje wpływ przepływów pieniężnych, co czyni ją bardziej odpowiednią do oceny menedżerów funduszy[3]. Metoda ta dzieli cały okres na podokresy i oblicza z nich geometryczną średnią. Pozwala ona obiektywnie porównywać wyniki portfeli tam, gdzie mają miejsce przepływy środków. Jest to ulepszenie metody IRR.
Taką metodę obliczeń stosujemy w excelu korzystając z funkcji: XIRR
Z mojej praktyki wynika, że na co dzień nikt nie korzysta ze skrótu TWR lub pełnej nazwy, lecz pisze po prostu XIRR.
gdzie:
- Ri – stopa zwrotu w podokresie i
- n – liczba podokresów
- t – liczba lat
Zalety TWR
- Eliminacja wpływu przepływów pieniężnych: TWR eliminuje wpływ przepływów pieniężnych dokonywanych przez inwestora, co umożliwia ocenę wyników inwestycyjnych menedżera portfela.
- Porównywalność: Dzięki wyłączeniu przepływów pieniężnych metoda TWR umożliwia bezpośrednie porównanie różnych inwestycji.
- Wiarygodność w analizie historycznej: Jest uważana za bardziej rzetelną niż CAGR w ocenie długoterminowych wyników portfela, niezależnie od zewnętrznych wpływów.
Przykład XIRR
Powróćmy do poprzedniego przykładu i znowu nieco go zmodyfikujmy. Załóżmy, że dokonałeś inwestycji w obligacje o wartości 100 tys. złotych. Działają one trochę nietypowo, bo obligatariusz (czyli dłużnik) będzie spłacał je w 7 równych ratach po 25 tys. złotych. Harmonogram płatności jest podany w tabeli poniżej – pierwsza wypłata nastąpi 1 stycznia 2026 roku. Pytanie brzmi, jaką stopę zwrotu będzie miała taka inwestycja? Jeśli liczymy ją metodologią XIRR, to wyniesie ona 14,4%. Stopa ta jest niższa niż w metodzie IRR, mimo że też zakłada reinwestowanie przepływów po stopie inwestycji. Dlaczego tak się dzieje? Pierwsze transze płatności są bardziej oddalone w czasie od naszej oryginalnej inwestycji, dlatego stanowią mniejszą wartość dla inwestora (efekt dyskonta jest dla nich większy)*.
*Efekt dyskonta polega na tym, że inwestor, który ma do wyboru otrzymać 100 zł dzisiaj albo 100 zł za rok, zawsze będzie wolał pierwszą opcję, gdyż po pierwsze uniknie inflacji, a poza tym przez rok będzie mógł te pieniądze zainwestować.
Plik do obliczania stóp zwrotu
W moim pliku znajdziesz gotowe formuły na wykorzystanie funkcji XIRR do policzenia stopy zwrotu ze swoich inwestycji. (wersja w arkuszu google)
Trochę praktyki – wykorzystanie XIRR przy portfelu dywidendowym
Wpis ma charakter bardziej teoretyczny niż praktyczny, ale tą wiedzę można wykorzystać w działaniu. Metoda XIRR świetnie nadaje się do portfela dywidendowego gdzie mamy do czynienie z dużą ilością przepływów pieniężnych. W arkuszu znajdziesz zakładkę jak wykorzystać tę metodę do sprawdzenia stopy zwrotu swojego dywidendowego portfela. Przykład znajdziesz w arkuszu.
Jaka jest najlepsza metoda obliczania stopy zwrotu?
Jak widać, nie każda metoda liczenia stopy zwrotu będzie odpowiednia w danym momencie. Proste metody zupełnie nie sprawdzają się w sytuacji stosowania dopłat oraz innych przepływów (chociażby dywidend). Często przesadnie polegamy na efektywnej stopie zwrotu (CAGR), chociaż dla wielu z nas zdecydowanie bardziej odpowiednia byłaby stopa zwrotu XIRR i to właśnie ją polecam stosować przy podawaniu swoich wyników inwestycyjnych. Możemy z niej korzystać, gdyż przy naszych własnych inwestycjach zakładamy, że reinwestowane środki będą pomnażane po podobnej stopie zwrotu jak nasz cały portfel (więc nie musimy posiłkować się zewnętrzną stopą zwrotu).
Moim zdaniem najlepsza metoda do obliczania stopy zwrotu (z której i ja korzystam), to właśnie stopa zwrotu ważona czasem. Jej największą wadą są niewygodne obliczenia, ale mając do dyspozycji arkusz kalkulacyjny, ta niedogodność szybko znika, a my poznajemy faktyczną efektywność swojego portfela.
Przypominam, że do artykułu dołączam arkusze kalkulacyjne w excelu oraz arkuszu google z przykładami 🙂
Jeśli masz pytania związane z obliczaniem stóp zwrotu lub chciałbyś abym napisał coś więcej na ten temat, daj znać w komentarzu. Jeśli jesteś akurat studentem ekonomii i finansów, to napisz, czy nie pominąłem jakiejś istotnej metody obliczania stóp zwrotu 🙂
Lubisz dane i wszelkiej maści analizy? Koniecznie zajrzyj do wpisu Analiza historyczna strategii.
[1] Analizę takiego portfela można podejrzeć tutaj.
